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Modèle de verhulst discret

Étant donné que les conditions environnementales influencent la capacité de charge, il peut en conséquence varier le temps: K (t) > 0, conduisant au modèle mathématique suivant: une autre application de la courbe logistique est en médecine, où l`équation différentielle logistique est utilisé pour modéliser la croissance des tumeurs. Cette application peut être considérée comme une extension de l`utilisation mentionnée ci-dessus dans le cadre de l`écologie (voir aussi la courbe logistique généralisée, permettant plus de paramètres). Dénotant avec X (t) la taille de la tumeur au temps t, sa dynamique est régie par: une autre application de la fonction logistique est dans le modèle Rasch, utilisé dans la théorie de réponse d`article. En particulier, le modèle Rasch constitue une base pour l`estimation de la probabilité maximale de l`emplacement des objets ou des personnes sur un continuum, sur la base de recueils de données catégorielles, par exemple les capacités des personnes sur un continuum basé sur des réponses qui ont été classés comme corrects et incorrects. Laisser P représenter la taille de la population (N est souvent utilisé dans l`écologie à la place) et t représenter le temps, ce modèle est officialisé par l`équation différentielle: les fonctions logistiques sont utilisées dans plusieurs rôles dans les statistiques. Par exemple, ils sont la fonction de distribution cumulative de la famille logistique des distributions, et ils sont, un peu simplifié, utilisé pour modéliser la chance d`un joueur d`échecs doit battre son adversaire dans le système de notation Elo. Des exemples plus spécifiques suivent maintenant. Le comportement qualitatif est facilement compréhensible en termes de ligne de phase: le dérivé est 0 lorsque la fonction est 1; et la dérivée est positive pour f entre 0 et 1, et négative pour f au-dessus de 1 ou moins de 0 (bien que les populations négatives ne s`accordent généralement pas avec un modèle physique). Cela donne un équilibre instable à 0, et un équilibre stable à 1, et donc pour toute valeur de fonction supérieure à 0 et inférieure à 1, elle croît à 1.

Les fonctions logistiques sont souvent utilisées dans les réseaux neuronaux pour introduire la non-linéarité dans le modèle ou pour fixer des signaux à l`intérieur d`une plage spécifiée. Un élément de réseau neuronal populaire calcule une combinaison linéaire de ses signaux d`entrée et applique une fonction logistique délimitée au résultat; ce modèle peut être considéré comme une variante «lissée» du Neuron de seuil classique. Dans l`équation, le taux de croissance précoce et sans entrave est modélisé par le premier terme + rP. La valeur du taux r représente l`augmentation proportionnelle de la population P dans une unité de temps. Plus tard, au fur et à mesure que la population grandit, le module du second terme (qui est multiplié par − 2/K) devient presque aussi grand que le premier, car certains membres de la population P interfèrent les uns avec les autres en se disputant pour une ressource critique, comme la nourriture ou l`espace de vie.